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Die `!Integration durch Substitution`! oder die `!Substitutionsregel`! ist eine wichtige Methode in der `F33f`_`[Integralrechnung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Integralrechnung]`_`f, um `F33f`_`[Stammfunktionen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stammfunktion]`_`f zu finden und `F33f`_`[bestimmte Integrale`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bestimmtes_Integral]`_`f auszuwerten. Die Substitutionsmethode erlaubt es, einen „komplizierten“ `F33f`_`[Integranden`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Integralrechnung]`_`f durch einen „einfachen“ Integranden zu ersetzen und damit das gegebene Integral auf ein einfacher handhabbares Integral zurückzuführen. Der im Hintergrund der Substitutionsmethode stehende `F33f`_`[Transformationssatz`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Transformationssatz]`_`f gehört zu den wichtigsten Sätzen der `F33f`_`[Analysis`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Analysis]`_`f.

Die Substitutionsregel der `F33f`_`[Integralrechnung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Integralrechnung]`_`f ist die Umkehrung der `F33f`_`[Kettenregel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kettenregel]`_`f der `F33f`_`[Differentialrechnung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Differentialrechnung]`_`f. Bei Integralen über Funktionen mehrerer Variablen kommt der `F33f`_`[Transformationssatz`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Transformationssatz]`_`f zur Anwendung, der allerdings eine `F33f`_`[bijektive`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bijektivität]`_`f Substitutionsfunktion verlangt.

>>Contents

• `F0af`_`[Aussage der Substitutionsregel`#aussage-der-substitutionsregel]`_`f

• `F0af`_`[Heuristische Herleitung`#heuristische-herleitung]`_`f

• `F0af`_`[Beweis`#beweis]`_`f

• `F0af`_`[Transformationssatz`#transformationssatz]`_`f

• `F0af`_`[Substitution eines bestimmten Integrals`#substitution-eines-bestimmten-integrals]`_`f

• `F0af`_`[Beispiel 1`#beispiel-1]`_`f

• `F0af`_`[Beispiel 2`#beispiel-2]`_`f

• `F0af`_`[Beispiel 3`#beispiel-3]`_`f

• `F0af`_`[Substitution eines unbestimmten Integrals`#substitution-eines-unbestimmten-integrals]`_`f

• `F0af`_`[Voraussetzungen und Vorgehen`#voraussetzungen-und-vorgehen]`_`f

• `F0af`_`[Beispiel 1`#beispiel-1]`_`f

• `F0af`_`[Beispiel 2`#beispiel-2]`_`f

• `F0af`_`[Beispiel 3`#beispiel-3]`_`f

• `F0af`_`[Beispiel 4`#beispiel-4]`_`f

• `F0af`_`[Spezialfälle der Substitution`#spezialf-lle-der-substitution]`_`f

• `F0af`_`[Lineare Substitution`#lineare-substitution]`_`f

• `F0af`_`[Logarithmische Integration`#logarithmische-integration]`_`f

• `F0af`_`[Eulersche Substitution`#eulersche-substitution]`_`f

• `F0af`_`[Siehe auch`#siehe-auch]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

• `F0af`_`[Weblinks`#weblinks]`_`f

• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f

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>>Aussage der Substitutionsregel

Ist f : : I → → R {\\displaystyle f\\colon I\\to \\mathbb {R} } eine `F33f`_`[stetige`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stetige_Funktion]`_`f Funktion auf einem reellen `F33f`_`[Intervall`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Intervall_(Mathematik)]`_`f I {\\displaystyle I} und φ φ : : [ a , b ] → → I {\\displaystyle \\varphi \\colon [a,b]\\to I} eine `F33f`_`[stetig differenzierbare`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stetig_differenzierbare_Funktion]`_`f Funktion, so gilt

∫ ∫ a b f ( φ φ ( x ) ) ⋅ ⋅ φ φ ′ ( x ) d x = ∫ ∫ φ φ ( a ) φ φ ( b ) f ( t ) d t . {\\displaystyle \\int \\limits _{a}^{b}f(\\varphi (x))\\cdot \\varphi '(x)\\,\\mathrm {d} x=\\int \\limits _{\\varphi (a)}^{\\varphi (b)}f(t)\\,\\mathrm {d} t.} `:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f]

>>Heuristische Herleitung

Die Substitutionsregel lässt sich mithilfe des Differentialkalküls herleiten: Dazu substituiert man t = φ φ ( x ) {\\displaystyle t=\\varphi (x)} und schreibt die Ableitung als d t d x = φ φ ′ ( x ) {\\displaystyle {\\tfrac {\\mathrm {d} t}{\\mathrm {d} x}}=\\varphi '(x)} . Die linke Seite dieser Gleichung fasst man als Quotient von zwei `F33f`_`[Differentialen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Differential_(Mathematik)]`_`f auf, wodurch man nach Multiplikation mit d x {\\displaystyle \\mathrm {d} x} die Gleichung φ φ ′ ( x ) d x = d t {\\displaystyle \\varphi '(x)\\,\\mathrm {d} x=\\mathrm {d} t} erhält. Durch Einsetzen in das Integral erhält man

∫ ∫ f ( φ φ ( x ) ) ⋅ ⋅ φ φ ′ ( x ) d x = ∫ ∫ f ( t ) d t . {\\displaystyle \\int f(\\varphi (x))\\cdot \\varphi '(x)\\,\\mathrm {d} x=\\int f(t)\\,\\mathrm {d} t.}

Im linken Integral ist x {\\displaystyle x} die Integrationsvariable, im rechten Integral nun t {\\displaystyle t} .

Bei bestimmten Integralen erfordert dieser Wechsel der Integrationsvariablen noch eine Anpassung der Integrationsgrenzen: Für x = a {\\displaystyle x=a} ist t = φ φ ( a ) {\\displaystyle t=\\varphi (a)} und für x = b {\\displaystyle x=b} ist t = φ φ ( b ) {\\displaystyle t=\\varphi (b)} . Damit erhält man schließlich

>>Beweis

Ist F {\\displaystyle F} eine `F33f`_`[Stammfunktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stammfunktion]`_`f von f {\\displaystyle f} , so gilt für die Ableitung der `F33f`_`[zusammengesetzten Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Komposition_(Mathematik)]`_`f F ∘ ∘ φ φ {\\displaystyle F\\circ \\varphi } nach der `F33f`_`[Kettenregel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kettenregel]`_`f

( F ∘ ∘ φ φ ) ′ ( x ) = F ′ ( φ φ ( x ) ) ⋅ ⋅ φ φ ′ ( x ) = f ( φ φ ( x ) ) ⋅ ⋅ φ φ ′ ( x ) . {\\displaystyle (F\\circ \\varphi )'(x)=F'(\\varphi (x))\\cdot \\varphi '(x)=f(\\varphi (x))\\cdot \\varphi '(x).}

Also ist F ∘ ∘ φ φ {\\displaystyle F\\circ \\varphi } eine Stammfunktion von ( f ∘ ∘ φ φ ) ⋅ ⋅ φ φ ′ {\\displaystyle (f\\circ \\varphi )\\cdot \\varphi '} . Durch zweimaliges Anwenden des `F33f`_`[Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Hauptsatz_der_Differential-_und_Integralrechnung]`_`f erhält man die Substitutionsregel:

∫ ∫ a b f ( φ φ ( x ) ) ⋅ ⋅ φ φ ′ ( x ) d x = ( F ∘ ∘ φ φ ) ( x ) | a b = F ( φ φ ( b ) ) − − F ( φ φ ( a ) ) = ∫ ∫ φ φ ( a ) φ φ ( b ) f ( t ) d t . {\\displaystyle \\int \\limits _{a}^{b}f(\\varphi (x))\\cdot \\varphi '(x)\\,\\mathrm {d} x=(F\\circ \\varphi )(x){\\bigg \\vert }_{a}^{b}=F(\\varphi (b))-F(\\varphi (a))=\\int \\limits _{\\varphi (a)}^{\\varphi (b)}f(t)\\,\\mathrm {d} t.}

>>Transformationssatz

Die Substitutionsmethode lässt sich unter etwas engeren Voraussetzungen auch „rückwärts“ durchführen. Das ist die Substitution 2. Art. Ausgangspunkt ist für eine stetige Funktion f : : I → → R {\\displaystyle f\\colon I\\to \\mathbb {R} } mit α α , β β ∈ ∈ I {\\displaystyle \\alpha ,\\beta \\in I} das Integral

∫ ∫ α α β β f ( x ) d x . {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\int \\limits _{\\alpha }^{\\beta }f(x)\\,\\mathrm {d} x.\\end{aligned}}}

Man benutzt eine Funktion φ φ : : [ a , b ] → → I {\\displaystyle \\varphi \\colon [a,b]\\to I} , die `F33f`_`[injektiv`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Injektive_Funktion]`_`f und stetig differenzierbar ist. Dann existiert die Umkehrfunktion φ φ − − 1 {\\displaystyle \\varphi ^{-1}} . Man kann die Substitutionsregel nun von rechts nach links lesen:

∫ ∫ α α β β f ( x ) d x = ∫ ∫ φ φ − − 1 ( α α ) φ φ − − 1 ( β β ) f ( φ φ ( t ) ) φ φ ′ ( t ) d t . {\\displaystyle \\int \\limits _{\\alpha }^{\\beta }f(x)\\,\\mathrm {d} x=\\int \\limits _{\\varphi ^{-1}(\\alpha )}^{\\varphi ^{-1}(\\beta )}f(\\varphi (t))\\varphi '(t)\\,\\mathrm {d} t.}

Sie lässt sich wie folgt interpretieren: Transformiert man die Variable x {\\displaystyle x} mittel x = φ φ ( t ) {\\displaystyle x=\\varphi (t)} , so ändert sich der Wert des Integrals nicht, wenn man die neue Funktion f ∘ ∘ φ φ {\\displaystyle f\\circ \\varphi } mit der Ableitung von φ φ {\\displaystyle \\varphi } multipliziert und die Integralgrenzen wie oben anpasst.`:cite-ref-2[`F5bf`_`[2`#cite-note-2]`_`f] In dieser Fassung nennt man die Substitutionsregel deshalb auch `*Transformationsformel`*.`:cite-ref-3[`F5bf`_`[3`#cite-note-3]`_`f]

Bei geschickter Wahl der Funktion φ φ {\\displaystyle \\varphi } kann entgegen dem ersten Anschein der Integrand vereinfacht werden.

>>Substitution eines bestimmten Integrals

>>>Beispiel 1

Berechnung des Integrals

∫ ∫ 0 a sin ⁡ ⁡ ( 2 x ) d x {\\displaystyle \\int _{0}^{a}\\sin(2x)\\,\\mathrm {d} x}

für eine beliebige reelle Zahl a > 0 {\\displaystyle a>0} : Durch die Substitution t = φ φ ( x ) = 2 x {\\displaystyle t=\\varphi (x)=2x} erhält man d t = φ φ ′ ( x ) d x = 2 d x {\\displaystyle \\mathrm {d} t=\\varphi '(x)\\,\\mathrm {d} x=2\\,\\mathrm {d} x} , also d x = 1 2 d t {\\displaystyle \\mathrm {d} x={\\tfrac {1}{2}}{\\mathrm {d} t}} , und damit:

∫ ∫ 0 a sin ⁡ ⁡ ( 2 x ) d x = ∫ ∫ φ φ ( 0 ) φ φ ( a ) sin ⁡ ⁡ ( t ) 1 2 d t = ∫ ∫ 0 2 a sin ⁡ ⁡ ( t ) 1 2 d t = 1 2 ∫ ∫ 0 2 a sin ⁡ ⁡ ( t ) d t {\\displaystyle \\int _{0}^{a}\\sin(2x)\\,\\mathrm {d} x=\\int _{\\varphi (0)}^{\\varphi (a)}\\sin(t)\\,{\\frac {1}{2}}{\\mathrm {d} t}=\\int _{0}^{2a}\\sin(t)\\,{\\frac {1}{2}}{\\mathrm {d} t}={\\frac {1}{2}}\\int _{0}^{2a}\\sin(t)\\,\\mathrm {d} t}

= 1 2 [ − − cos ⁡ ⁡ ( t ) ] 0 2 a = 1 2 ( ( − − cos ⁡ ⁡ ( 2 a ) ) − − ( − − cos ⁡ ⁡ ( 0 ) ) ) = 1 2 ( − − cos ⁡ ⁡ ( 2 a ) + 1 ) = 1 2 ( 1 − − cos ⁡ ⁡ ( 2 a ) ) {\\displaystyle ={\\frac {1}{2}}[-\\cos(t)]_{0}^{2a}={\\frac {1}{2}}((-\\cos(2a))-(-\\cos(0)))={\\frac {1}{2}}(-\\cos(2a)+1)={\\frac {1}{2}}(1-\\cos(2a))} .

>>>Beispiel 2

Berechnung des Integrals

∫ ∫ 0 2 x cos ⁡ ⁡ ( x 2 + 1 ) d x {\\displaystyle \\int _{0}^{2}x\\cos \\left(x^{2}+1\\right)\\,\\mathrm {d} x} :

Durch die Substitution t = φ φ ( x ) = x 2 + 1 {\\displaystyle t=\\varphi (x)=x^{2}+1} erhält man d t = 2 x d x {\\displaystyle \\mathrm {d} t=2x\\,\\mathrm {d} x} , also x d x = 1 2 d t {\\displaystyle x\\,\\mathrm {d} x={\\tfrac {1}{2}}\\mathrm {d} t} , und damit

∫ ∫ 0 2 x cos ⁡ ⁡ ( x 2 + 1 ) d x = 1 2 ∫ ∫ 1 5 cos ⁡ ⁡ ( t ) d t = 1 2 ( sin ⁡ ⁡ ( 5 ) − − sin ⁡ ⁡ ( 1 ) ) {\\displaystyle \\int _{0}^{2}x\\cos \\left(x^{2}+1\\right)\\,\\mathrm {d} x={\\frac {1}{2}}\\int _{1}^{5}\\cos(t)\\,\\mathrm {d} t={\\frac {1}{2}}\\left(\\sin(5)-\\sin(1)\\right)} .

Es wird also x 2 + 1 {\\displaystyle x^{2}+1} durch t {\\displaystyle t} ersetzt und x d x {\\displaystyle x\\,\\mathrm {d} x} durch 1 2 d t {\\displaystyle {\\tfrac {1}{2}}\\,\\mathrm {d} t} . Die untere Grenze des Integrals x = 0 {\\displaystyle x=0} wird dabei in t ( 0 ) = 0 2 + 1 = 1 {\\displaystyle t(0)=0^{2}+1=1} umgewandelt und die obere Grenze x = 2 {\\displaystyle x=2} in t ( 2 ) = 2 2 + 1 = 5 {\\displaystyle t(2)=2^{2}+1=5} .

>>>Beispiel 3

Das ist ein Beispiel für die Substitution rückwärts (Substitution 2. Art).

Für die Berechnung des Integrals

∫ ∫ 0 1 1 − − t 2 d t {\\displaystyle \\int _{0}^{1}{\\sqrt {1-t^{2}}}\\,\\mathrm {d} t}

kann man t = sin ⁡ ⁡ ( x ) {\\displaystyle t=\\sin(x)} substituieren (eine `F33f`_`[Weierstraß-Substitution`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Weierstraß-Substitution]`_`f). Daraus ergibt sich d t = cos ⁡ ⁡ ( x ) d x {\\displaystyle \\mathrm {d} t=\\cos(x)\\,\\mathrm {d} x} . Um die Integrationsgrenzen umzurechnen, benutzt man die umgekehrte Beziehung x = arcsin ⁡ ⁡ ( t ) {\\displaystyle x=\\arcsin(t)} . Die obere Grenze 1 {\\displaystyle 1} wird zu π π 2 {\\displaystyle {\\frac {\\pi }{2}}} , weil arcsin ⁡ ⁡ ( 1 ) = π π 2 {\\displaystyle \\arcsin(1)={\\frac {\\pi }{2}}} . Aus arcsin ⁡ ⁡ ( 0 ) = 0 {\\displaystyle \\arcsin(0)=0} ergibt sich die neue untere Grenze 0 {\\displaystyle 0} . Mit 1 − − sin 2 ⁡ ⁡ ( t ) = cos ⁡ ⁡ ( t ) {\\displaystyle {\\sqrt {1-\\sin ^{2}(t)}}=\\cos(t)} für 0 ≤ ≤ t ≤ ≤ π π 2 {\\displaystyle 0\\leq t\\leq {\\frac {\\pi }{2}}} rechnet man

∫ ∫ 0 1 1 − − t 2 d t = ∫ ∫ 0 π π 2 1 − − sin 2 ⁡ ⁡ ( x ) cos ⁡ ⁡ ( x ) d x = ∫ ∫ 0 π π 2 cos ⁡ ⁡ ( x ) ⋅ ⋅ cos ⁡ ⁡ ( x ) d x = ∫ ∫ 0 π π 2 cos 2 ⁡ ⁡ ( x ) d x {\\displaystyle \\int _{0}^{1}{\\sqrt {1-t^{2}}}\\,\\mathrm {d} t=\\int _{0}^{\\frac {\\pi }{2}}{\\sqrt {1-\\sin ^{2}(x)}}\\cos(x)\\,\\mathrm {d} x=\\int _{0}^{\\frac {\\pi }{2}}\\cos(x)\\cdot \\cos(x)\\,\\mathrm {d} x=\\int _{0}^{\\frac {\\pi }{2}}\\cos ^{2}(x)\\,\\mathrm {d} x} .

Das Integral in der letzten Zeile kann mit `F33f`_`[partieller Integration`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Partielle_Integration]`_`f oder mit der `F33f`_`[trigonometrischen Formel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Formelsammlung_Trigonometrie]`_`f

cos 2 ⁡ ⁡ ( x ) = 1 + cos ⁡ ⁡ ( 2 x ) 2 {\\displaystyle \\cos ^{2}(x)={\\frac {1+\\cos(2x)}{2}}}

und einer weiteren Substitution berechnet werden. Es ergibt sich

∫ ∫ 0 1 1 − − t 2 d t = [ x 2 + 1 4 sin ⁡ ⁡ ( 2 x ) ] x = 0 x = π π 2 = π π 4 {\\displaystyle \\int _{0}^{1}{\\sqrt {1-t^{2}}}\\,\\mathrm {d} t=\\left[{\\frac {x}{2}}+{\\frac {1}{4}}\\sin(2x)\\right]_{x=0}^{x={\\frac {\\pi }{2}}}={\\frac {\\pi }{4}}} .

(Damit haben wir die Fläche eines Viertelkreises berechnet.)

>>Substitution eines unbestimmten Integrals

Hingewiesen sei auf die Problematik des Begriffs „`F33f`_`[unbestimmtes Integral`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stammfunktion]`_`f“, insbesondere in der Notation.

>>>Voraussetzungen und Vorgehen

F ( φ φ ( x ) ) = ∫ ∫ f ( φ φ ( x ) ) ⋅ ⋅ φ φ ′ ( x ) d x . {\\displaystyle F(\\varphi (x))=\\int f(\\varphi (x))\\cdot \\varphi '(x)\\,\\mathrm {d} x.}

wobei F {\\displaystyle F} eine Stammfunktion von f {\\displaystyle f} ist.

Das Entscheidende bei der Substitution in einem unbestimmten Integral ist, dass am Ende der Rechnung die substituierte Variable t {\\displaystyle t} wieder durch den Term φ φ ( x ) {\\displaystyle \\varphi (x)} ersetzt werden muss `*(Rücksubstitution)`*.

>>>Beispiel 1

Durch `F33f`_`[quadratische Ergänzung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quadratische_Ergänzung]`_`f und anschließende Substitution t = x + 1 {\\displaystyle t=x+1} , d x = d t {\\displaystyle \\mathrm {d} x=\\mathrm {d} t} erhält man

∫ ∫ 1 x 2 + 2 x + 2 d x = ∫ ∫ 1 ( x + 1 ) 2 + 1 d x = ∫ ∫ 1 t 2 + 1 d t = arctan ⁡ ⁡ ( t ) + C = arctan ⁡ ⁡ ( x + 1 ) + C {\\displaystyle \\int {\\frac {1}{x^{2}+2x+2}}\\,\\mathrm {d} x=\\int {\\frac {1}{(x+1)^{2}+1}}\\,\\mathrm {d} x=\\int {\\frac {1}{t^{2}+1}}\\,\\mathrm {d} t=\\arctan(t)+C=\\arctan(x+1)+C}

>>>Beispiel 2

Mit der Substitution t = x 2 {\\displaystyle t=x^{2}} , d t = 2 x d x {\\displaystyle \\mathrm {d} t=2x\\,\\mathrm {d} x} erhält man

∫ ∫ x cos ⁡ ⁡ ( x 2 ) d x = 1 2 ∫ ∫ 2 x cos ⁡ ⁡ ( x 2 ) d x = 1 2 ∫ ∫ cos ⁡ ⁡ ( t ) d t = 1 2 ( sin ⁡ ⁡ ( t ) + C ′ ) = 1 2 sin ⁡ ⁡ ( x 2 ) + C {\\displaystyle \\int x\\,\\cos \\left(x^{2}\\right)\\,\\mathrm {d} x={\\frac {1}{2}}\\int 2x\\cos \\left(x^{2}\\right)\\,\\mathrm {d} x={\\frac {1}{2}}\\int \\cos(t)\\,\\mathrm {d} t={\\frac {1}{2}}\\left(\\sin(t)+C'\\right)={\\frac {1}{2}}\\sin \\left(x^{2}\\right)+C}

>>>Beispiel 3

Mit der Substitution t = cos ⁡ ⁡ ( x ) {\\displaystyle t=\\cos(x)} , d t = − − sin ⁡ ⁡ ( x ) d x {\\displaystyle \\mathrm {d} t=-\\sin(x)\\,\\mathrm {d} x} erhält man eine Stammfunktion für den `F33f`_`[Tangens`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Tangens_und_Kotangens]`_`f:

∫ ∫ tan ⁡ ⁡ ( x ) d x = ∫ ∫ − − − − sin ⁡ ⁡ ( x ) cos ⁡ ⁡ ( x ) d x = ∫ ∫ − − 1 t d t = − − ln ⁡ ⁡ ( | t | ) + C = − − ln ⁡ ⁡ ( | cos ⁡ ⁡ ( x ) | ) + C {\\displaystyle \\int \\tan(x)\\,\\mathrm {d} x=\\int -{\\frac {-\\sin(x)}{\\cos(x)}}\\,\\mathrm {d} x=\\int -{\\frac {1}{t}}\\,\\mathrm {d} t=-\\ln(|t|)+C=-\\ln(|\\cos(x)|)+C}

>>>Beispiel 4

Mit der Substitution t = sin ⁡ ⁡ ( x ) {\\displaystyle t=\\sin(x)} , d t = cos ⁡ ⁡ ( x ) d x {\\displaystyle \\mathrm {d} t=\\cos(x)\\,\\mathrm {d} x} erhält man eine Stammfunktion für den `F33f`_`[Kotangens`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Tangens_und_Kotangens]`_`f:

∫ ∫ cot ⁡ ⁡ ( x ) d x = ∫ ∫ cos ⁡ ⁡ ( x ) sin ⁡ ⁡ ( x ) d x = ∫ ∫ 1 t d t = ln ⁡ ⁡ ( | t | ) + C = ln ⁡ ⁡ ( | sin ⁡ ⁡ ( x ) | ) + C {\\displaystyle \\int \\cot(x)\\,\\mathrm {d} x=\\int {\\frac {\\cos(x)}{\\sin(x)}}\\,\\mathrm {d} x=\\int {\\frac {1}{t}}\\,\\mathrm {d} t=\\ln(|t|)+C=\\ln(|\\sin(x)|)+C}

>>Spezialfälle der Substitution

Nachfolgend wird davon ausgegangen, dass die Integrationsvariable mit x {\\displaystyle x} benannt ist.

>>>Lineare Substitution

Erscheint in einem Integranden die Integrationsvariable x {\\displaystyle x} stets nur innerhalb eines Terms a x + b {\\displaystyle ax+b} mit a ≠ ≠ 0 {\\displaystyle a\\neq 0} , so kann wie folgt vorgegangen werden: Ist F {\\displaystyle F} eine Stammfunktion von f {\\displaystyle f} , dann gilt

∫ ∫ f ( a x + b ) d x = 1 a F ( a x + b ) + C {\\displaystyle \\int f(ax+b)\\,\\mathrm {d} x={\\frac {1}{a}}F(ax+b)+C} .

Zum Beispiel gilt

∫ ∫ e 3 x + 1 d x = 1 3 e ( 3 x + 1 ) + C {\\displaystyle \\int e^{3x+1}\\,\\mathrm {d} x={\\frac {1}{3}}e^{(3x+1)}+C} ,

da f ( x ) = e x = F ( x ) {\\displaystyle f(x)=e^{x}=F(x)} und a = 3 {\\displaystyle a=3} .

>>>Logarithmische Integration

Ist der Integrand ein Bruch, dessen Zähler die Ableitung des Nenners ist, kann das betreffende Integral schnell gelöst werden:

∫ ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln ⁡ ⁡ | f ( x ) | + C . {\\displaystyle \\int {\\frac {f'(x)}{f(x)}}\\,\\mathrm {d} x=\\ln |f(x)|+C.}

Es liegt hier eine Substitution 1. Art mit t = f ( x ) {\\displaystyle t=f(x)} vor.

Zum Beispiel gilt

∫ ∫ x x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ ∫ 2 x x 2 + 1 d x = 1 2 ln ⁡ ⁡ ( x 2 + 1 ) + C {\\displaystyle \\int {\\frac {x}{x^{2}+1}}\\,\\mathrm {d} x={\\frac {1}{2}}\\int {\\frac {2x}{x^{2}+1}}\\,\\mathrm {d} x={\\frac {1}{2}}\\ln(x^{2}+1)+C} ,

da f ( x ) = x 2 + 1 {\\displaystyle f(x)=x^{2}+1} die Ableitung f ′ ( x ) = 2 x {\\displaystyle f'(x)=2x} hat.

>>>Eulersche Substitution

Nach einem Satz von Bernoulli lassen sich alle Integrale des Typs

∫ ∫ a x 2 + b x + c d x {\\displaystyle \\int {\\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\\;\\mathrm {d} x}

und

∫ ∫ d x a x 2 + b x + c {\\displaystyle \\int {\\frac {\\mathrm {d} x}{\\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}}

elementar integrieren.

Euler hat hierzu mehrere Substitutionen 2. Art vorgeschlagen, die sich darin unterscheiden, welche Eigenschaften das konkrete Polynom a x 2 + b x + c {\\displaystyle ax^{2}+bx+c} hat.

Beispiel:

∫ ∫ d x x 2 + 1 {\\displaystyle \\int {\\frac {\\mathrm {d} x}{\\sqrt {x^{2}+1}}}}

Die Substitution t = x + x 2 + 1 {\\displaystyle t=x+{\\sqrt {x^{2}+1}}} führt zu x = t 2 − − 1 2 t {\\displaystyle x={\\tfrac {t}{2}}-{\\tfrac {1}{2t}}} und d x = ( 1 2 + 1 2 t 2 ) d t {\\displaystyle \\mathrm {d} x=\\left({\\tfrac {1}{2}}+{\\tfrac {1}{2t^{2}}}\\right)\\mathrm {d} t} . Damit ergibt sich

∫ ∫ d x x 2 + 1 = ∫ ∫ 1 2 + 1 2 t 2 t 2 + 1 2 t d t = ∫ ∫ d t t = ln ⁡ ⁡ | t | + C = ln ⁡ ⁡ | x + x 2 + 1 | + C {\\displaystyle \\int {\\frac {\\mathrm {d} x}{\\sqrt {x^{2}+1}}}=\\int {\\frac {{\\frac {1}{2}}+{\\frac {1}{2t^{2}}}}{{\\frac {t}{2}}+{\\frac {1}{2t}}}}\\mathrm {d} t=\\int {\\frac {\\mathrm {d} t}{t}}=\\ln |t|+C=\\ln \\left|x+{\\sqrt {x^{2}+1}}\\right|+C} .

>>Siehe auch

• `F33f`_`[Partielle Integration`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Partielle_Integration]`_`f für eine weitere wichtige Methode zur Berechnung von Integralen,

• `F33f`_`[Weierstraß-Substitution`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Weierstraß-Substitution]`_`f für bestimmte Funktionen, die `F33f`_`[trigonometrische Funktionen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Trigonometrische_Funktionen]`_`f enthalten.

>>Literatur

• Harro Heuser: `*Lehrbuch der Analysis. Teil 1`*, 5. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-42221-2, S. 464

• Konrad Königsberger: `*Analysis 1`*, Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-55116-6, S. 200–201

• Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 4. Auflage, Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1971, ISBN 3-540-05466-9, S. 182–191

>>Weblinks

• Einfache Erklärung/Beispiele für die Substitutionsregel

• Video: `*Substitutionsregel`*. `F33f`_`[Jörn Loviscach`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Jörn_Loviscach]`_`f 2011, zur Verfügung gestellt von der `F33f`_`[Technischen Informationsbibliothek`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Technische_Informationsbibliothek]`_`f (TIB), `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.5446/9911.

• Video: `*Integration durch Substitution, Fingerübung`*. `F33f`_`[Jörn Loviscach`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Jörn_Loviscach]`_`f 2013, zur Verfügung gestellt von der `F33f`_`[Technischen Informationsbibliothek`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Technische_Informationsbibliothek]`_`f (TIB), `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.5446/10142.

• Video: `*drei Wege für Integration durch Substitution`*. `F33f`_`[Jörn Loviscach`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Jörn_Loviscach]`_`f 2013, zur Verfügung gestellt von der `F33f`_`[Technischen Informationsbibliothek`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Technische_Informationsbibliothek]`_`f (TIB), `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.5446/10144.

• Video: `*Partielle Integration, Substitutionsregel, Integration durch Partialbruchzerlegung`*. `F33f`_`[Jörn Loviscach`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Jörn_Loviscach]`_`f 2012, zur Verfügung gestellt von der `F33f`_`[Technischen Informationsbibliothek`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Technische_Informationsbibliothek]`_`f (TIB), `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.5446/9987.

• Video: `*Beispiele partielle Integration, Substitutionsregel, Integration durch Partialbruchzerlegung`*. `F33f`_`[Jörn Loviscach`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Jörn_Loviscach]`_`f 2012, zur Verfügung gestellt von der `F33f`_`[Technischen Informationsbibliothek`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Technische_Informationsbibliothek]`_`f (TIB), `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.5446/9988.

>>Einzelnachweise

`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f `F33f`_`[Otto Forster`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Otto_Forster]`_`f, Florian Lindemann: Analysis 1. 13. Auflage. Springer Spektrum, 2023, ISBN 978-3-658-40129-0, S. 307.

`:cite-note-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-2]`_`f `F33f`_`[Richard Courant`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Richard_Courant]`_`f: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1. 4. Auflage. Springer, 1971, ISBN 3-540-05466-9, S. 184.

`:cite-note-3`!3.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-3]`_`f `F33f`_`[Theodor Bröcker`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Theodor_Bröcker]`_`f: Analysis. 1. 2. Auflage. Spektrum, Akad. Verl, Heidelberg Berlin 1999, ISBN 3-86025-417-0, S. 102.

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